순서대로 시작해서 1강.수학이란 무엇인가 2강 역사를 바꾼 3개의 수학적 발견 3강 확률론의 선과 악 4강답이 없어도 되는 5강답이 있을 때 찾을 수 있거나 6강 우주의 실체, 모양과 위상과 계산 7강을 마치고 특강 숫자 없이 수학을 이해한다.
-처음 수학은 발전해 왔다. 지금의 우리에게 다소 어려운 문제도 언젠가는 일반인들의 상식이 될 것이다. 오늘날 인간이 가지고 있는 지능과 상상력에 어떤 차이가 있다면 그것은 수학적 이해력의 차이 때문이다. 반대로 어떤 새로운 사고가 상식이 되는 과정도 수학적인 이해력을 바탕으로 가능해질 것이다. 그럼 수학적 이해력이란 무엇인가?
1강. 수학이란 무엇인가 보통 많은 사람이 수학은 문제가 주어져 있으면 푸는 것이라고 생각한다. 그러나 이는 다른 과목도 마찬가지다. 영국의 수학자이자 논리학자인 버트랜드 러셀은 수학은 논리라고 했다. 그러나 실제가 있을 때 논리를 펼칠 수 있지만 논리가 있다고 해서 실제를 만들어낼 수는 없다. 또 수학만이 논리를 사용하지 않는다. 그렇다면 논리에서의 엄밀함의 차이가 수학을 구분할 수 있지 않을까 생각된다. 어느 정도 옳다고도 할 수 있지만 수학의 확실성에 대한 집착으로 인해 수학 논리가 무조건 옳은 사고라고 주장하는 것은 옳지 않다.수학적이란 수를 이용한 사고와 과정인가 싶을 수도 있다. 수학적 사고란 구체적인 예를 통해 전체적인 틀이 형성되어 가는 것으로, 수학적 방법론을 통해 수학 자체를 떠나 수많은 학문 분야로 퍼져나갈 수 있다. 그럼 수학과 과학의 차이점은 무엇일까? 현대적인 의미의 과학 중에서 수학이 가장 오래되었다. 17세기 초 갈릴레오는 우리가 우주를 이해하기 위해서는 우주에 관해 쓰여 있는 언어를 배우고 익숙해져야 하는데 그 언어는 수학적인 언어라며 우주를 이해하는 것 자체가 수학적인 방법론에서만 가능하다고 생각했다.한편 수학은 인문학과와도 연결돼 있다. ‘구조주의’를 주장한 레비스트로즈는 인간이 사는 여러 사회를 분류하고 각기 다른 사회임에도 불구하고 구조적 유사성을 찾아냈다. 또 다른 구조주의자 장피아제는 구조가 무엇인지 구조적으로 같다는 게 무엇인지 설명하기 위해서는 수학적인 구조, 수체계 군론 등에 대한 이해가 필요하다고 말했다.결국 수학이나 추상적인 개념적 도구를 사용하여 세상을 체계적이고 정밀하게 설명하려는 의도라고 할 수 있다.
2강. 역사를 바꾼 세 가지 수학적 발견 역사를 바꾼 수학적 발견은 다양한 방식으로 해석할 수 있는데, 여기서는 비교적 최근의 사건 중에서 선정되었다.1. ‘페르마의 원리’-빛은 시간을 최소화하는 경로로 진행한다.17세기 과학혁명으로 과학의 수학화에 도움을 준 원리로 최적의 경로, 최적화, 최소화 문제에 대해 생각하도록 했다. 2. 아이작 뉴턴의 자연철학의 수학적 원리(Philosophiae Naturalis Principia Mathematics)는 프린시피아로 알려져 있다. 뉴턴의 제2법칙 F=ma에서 가속도는 속도가 변하는 양으로서 속도의 미분은 가속도로 미분의 발달에 영향을 주었다. 뉴턴의 제3법칙 작용 반작용 원리를 통한 만유인력의 법칙은 행성의 운동을 설명하는 케플러의 3대 법칙에 영향을 미쳤다. 그렇다면 달과 지구 사이의 인재는 어떻게 계산할 수 있을까. 지구나 달의 각 표면에 매우 연속적으로 분포한 점과 점끼리 사방에서 끌어당기는 이 모든 중력을 가하면 되는데, 이때 연속적을 가함으로써 ‘적분’ 개념이 필요하다면 이를 결론의 달의 중심에서 지구의 중심까지의 거리를 재면 된다는 결론에 이른다.한편 왜 지구와 달은 서로 끌어당기는 것일까? 어떻게 힘이 전달되는지. 무엇을 통해 힘이 전달되는가 하는 질문을 만들어낼 수 있다.
참고) 케플러의 3법칙 1) 타원궤도의 법칙: 모든 행성은 태양을 초점으로 하는 타원궤도를 그리며 공전한다. (타원은 중력이 거리의 역제곱에 비례한다는 만유인력의 법칙에 영향을 주었다.) 2) 면적의 법칙: 한 행성과 태양을 잇는 선은 같은 시간에 같은 면적을 휩쓸고 지나가므로 태양에 가까울수록 느리고 멀어질수록 느리게 움직인다. (이는 운동량 보존의 법칙의 영향을 받았다.)
3) 행성의 공전 주기의 제곱은 태양과 행성 거리의 입방 부피에 비례한다.
참고) 태양계 내부에 존재하는 행성과 혜성은 대부분 태양을 초점으로 하는 타원 궤도를 따라 움직인다. 한편 태양계 외부에서 접근하는 혜성은 태양을 초점으로 하는 포물선이나 드물게 쌍곡선 궤도를 따라 움직인다. 예를 들어 핼리 혜성은 76년에 한 번 돌아온다고 한다. 타원인지 포물선(쌍곡선)인지 궤도 형태에 따라 다시 돌아올 수도 있고 영원히 멀어질 수도 있다.궤도의 형태는 이심률에 의해 결정된다. 이심률은 2차 곡선이 갖는 상수 중 하나로 1을 기준으로 곡선의 형태가 바뀐다. 이심률이 1보다 작은지 큰지에 따라 타원, 쌍곡선, 포물선의 형태가 결정되는 것이다.
3. 데카르트 좌표 발견 나는 생각한다. 그래서 나는 존재한다’는 유명한 말이 적혀 있는 데카르트의 ‘방법 서설(Discoursdela Methode)’은 부록 3개가 있다. 그 중 하나인 기하학에서 좌표를 말한다. 이는 기하를 대수적으로 표현하고 전개할 수 있는 기초를 닦았다. 이는 시간의 함수라는 개념을 통해 우리는 물체가 어떻게 움직이는지 위치를 정확히 묘사했다. 이는 뉴턴 이론에 영향을 미쳐 행성의 궤적을 찾는 데도 일조했다고 볼 수 있다. 뉴턴은 일정한 속도로 움직이는 좌표계가 자연 현상을 묘사하기에 적절하므로 움직이지 않는 좌표는 없다고 가정했다. 따라서 움직임을 상대적이라고 생각했고 대신 속도는 객관적이지 않지만 속도의 변화는 객관적이었다.그러나 아인슈타인의 상대성 이론에서는 시간도 상대적이라고 주장해 상대성 이론의 역설을 발견했다. 우주여행을 하고 돌아오니 지구에서는 수천년이 흐르고
수학적으로 사고한다는 것은 우리가 무엇을 모르는지 정확하게 질문을 던져 우리가 어떤 종류의 해결점을 원하는지 파악하고 그에 필요한 정확한 프레임워크와 개념적 도구를 만들어가는 과정이라고 할 수 있다.
참고) 영화 ‘인터스텔라’에서는 우주를 배경으로 많은 과학적 지식이 활용된 영화이다. 이때 ‘웜홀’과 ‘블랙홀’이 나오는데, 특히 ‘웜홀’은 이론적으로 존재한다. 영화 내용에서 시간 지연 현상이 나타나 한 행성에서의 1시간이 지구에서의 7년과 같다는 것을 이야기한다. 비행선이 블랙홀에 가까우면 강력한 중력의 영향으로 인해 중력에 의해 시간이 지연되고 상대적으로 우주인의 시간보다 지구의 시간이 더 빨리 흐른다.
2019년 4월 10일 세계 과학 역사상 최초의 ‘실제 블랙홀’ 관측에 성공했다. 이는 상대성 이론과 예측이 정확히 맞아떨어진 것이다.
3강. 확률론의 선과 악공리주의는 19세기 중반 영국에서 나타난 사회사상에서 가치판단의 기준을 효용과 행복 증진에 두고 ‘최대 다수의 최대 행복’ 실현을 윤리적 행위의 목적으로 봤다. 이는 윤리적 사고를 정량화하자는 것이다. 그렇다면 어떤 도덕적 판단을 요하는 문제를 직면했을 때 확률의 사용에 대한 의문이 생긴다. 의도를 가지고 결정해야 하는지 결과를 생각해서 결정해야 하는가? 좋은 결과를 낳을 확률에 따라 옳고 그름을 판단하는 것이 과연 의미 있는 일인가.MIT 기계공확과에서 자율주행자동차 개발을 위한 ‘결정게임’은 ‘토리 문제’로서 윤리라는 형이상학적 문제를 구조화하고 모델링해 알고리즘으로 만들어내고 있다.
참고) 트롤리 딜레마: 사람들에게 브레이크가 고장난 트롤리 상황을 제시하고 다수를 구하기 위해 소수를 희생할 수 있는지를 판단하게 하는 문제 상황을 가리키는 말이다.
비슷하면서도 다른 두 개의 트롤리 문제 1. 브레이크가 고장난 트롤리 기차가 달리고 있다. 레일 위에는 5명의 인부가 일하고 있는데 트롤리가 이대로 달리면 5명은 반드시 죽을 것이다. 한 가지 방법은 레일 변환기에서 트롤리의 방향을 바꾸는 것뿐이다. 그런데 다른 레일 위에는 1명의 인부가 있다. 당신은 트롤리의 방향을 바꿀 생각인가요?
→ 이 문제는 영국의 윤리철학자인 필리파 후트(Philippa R. Foot)가 제안한 것으로 응답자의 89%가 방향을 바꿔야 한다고 답했다.
2 당신은 육교 위에서 트롤리가 달리는 모습을 지켜보고 있다. 브레이크가 고장난 트롤리는 5명의 작업자를 향해 달리고 있다. 무거운 것을 떨어뜨려 트롤리를 멈춰야 하지만 육교에는 뚱뚱한 사람이 한 명 있을 뿐이다.
체중이 적어 육교에서 떨어져도 트롤리를 멈출 수 없고 뚱뚱한 사람을 밀면 확실히 트롤리를 멈출 수 있다. 그럼 뚱뚱한 사람을 육교 밑에 떨어뜨려야 할까?
→ 이 문제는 미국 도덕 철학자였던 주디스 톰슨(Judith J.Thomson)이 문제 ①에 이어추가적으로 제안한 것이다. 이 문제에 대해서 응답자의 78%가 뚱뚱한 사람을 육교 아래로 누르시면 안 된다고 대답했다.
예컨대’지능이 너무 큰 여성은 대부분 자신보다 지능이 낮은 남자와 결혼한다.’이라는 통계가 있다. 그 이유는 무엇일까? 우리는 자신도 모르게 남녀 문제 등 사회적 편견을 가지고 대답을 한다. 그러나 대답은 확률적으로 대부분 남자가 지능이 너무 높은 여성보다 지능이 낮을 뿐이다. 도덕적으로 틀린 답을 피할 수 있는 사고가 필요하다. 한국은 수학적으로 생각하는 것이 오히려 도덕적으로 틀린 답을 피할 수 있다는 것을 알았다. 우리는 환희 윤리적인 것, 인문적인 것은 수학적인 것과 전혀 다른 경로를 지향하고 있다는 선입견을 갖고 있다.
4강. 답이 없어도 좋다.어떻게 의사 결정을 할지는 수리 경제학의 시작으로서 사회 선택 이론에 영향을 주었다.순위 선호도의 호감도의 호감도의 호감도의 호감도의 선호도 1ABCDEE2DEBCBC3EDEEDD4CCDBCB5BAAAAA총 득표수 181210942순위 결정 방법 1. 단순 다수 대표제(한국 대통령 선거 등):A(가장 높은 득표 수 18표)2. 보르다 투표:D프랑스의 수학자인 물히 학자, 정치학자인 장 사를 볼, 제시한 방법으로 1위는 4점, 2위는 3점, 3위는 2점, 4위는 1점 5위는 0점으로 점수를 부여한다.A:72, B:101, C:107, D:136, E:1343. 프랑스 결전제(반의 회장 선출 등):B의 득표 수가 과반수 이상이면 당선되고 과반수가 아니면 1. 방법의 1,2위 재투표 1위 A 2위 B->A:18, B:374. 차례차례 결선제:C각 투표에서 코르,을 제거하고 다시 실행, 꼴찌를 제거하는 방법으로 마지막 한명이 선정된다. 1Round:E제거 A:18, B:16, C:12, D:92Round:D제거 A:18, B:16, C:213Round:B제거 A:18, C:335. 쌍방 처벌의 비교, 페어 비교:E프랑스의 정치 학자 이마의 무상 의무 교육을 주장한 니콜라 디 콩도르세는 두명씩 비교하는 방법을 제안했다. 총 10번의 계산을 하면 좋다.A<B, A<C, A<D, A<EB.C, B.D, B<EC<D, C<ED<E이 때문에 A<B.C<D<E으로 이때, E을 니콜라 드 콩도르세 후보라는, 콩도르세 후보가 있으면 그가 이겨야 한다.그러나 이 방법은 아래와 같은 예에서 콘도르세 후보가 나오지 않을 수도 있다.순위 선호도 선호도 선호도 1 ABBCCDE2 DAABDAC3 CCDAED 4BDED BCB5 EECEEBA 총득표수 26411445-1. 계산 콘돌세 방법 1:1 대결에서 승점 부여 방식으로 승리 : 1점, 동점 : 0.5점, 패배 : 0점 점수를 부여하면 A : 3점, B : 2.5점, C : 2점, D : 1.5점, E : 1점으로 A가 선출된다.그러나 이 방법은 후보가 사퇴할 경우 문제가 생기는데 만약 C가 사퇴한다고 가정하자.A: 2점, B: 2.5점, D:1.5점, E:0점으로 B가 선출된다.그 이유는 승점으로 계산해보면 한 집단이 한 개인으로 취급되어 나타난다.
사회선택이론에는 세 가지 법칙이 있다.1) 의견 일치 원리 1972년 노벨경제학상을 수상한 케네스 애로우의 애로의 정리다.2) 독립성 원리 A와 B 사이의 선호도는 개인적으로나 사회적으로나 A와 B 사이의 비교에만 의존해야 한다.3) 독재자는 존재하지 않는다.어떤 개인의 의견이 항상 사회 결정에 반영되는 상황이 있어서는 안 된다.
그러나 후보가 최소 3명일 경우 이 3가지 원칙을 충족할 경우 답이 없다고 한다.이 책은 문자가 2개인 3개의 연립방정식이 해를 가질 경우 어렵다고 말하고, 이러한 제한점을 극복해야 할 경우 조건을 추가함으로써 방정식을 푸는 방식을 향해 나아갈 수 있다고 했다. 수정을 통해 발전이 가능하고 모순을 일으킬 수 있는 방법 확률적으로 적도록 해야 한다. 건전한 과학 시각과는 근사(approximation) 과정이다.
5강. 답이 있을 때 찾을 수 있거나 우리가 중매인이라고 가정하자. 남자와 여자의 취향이 있을 때 어떻게 매칭을 해주는지.남자 여자 12ABAA11BB22{1,B}{2,A}:1과 A가 서로 선호도가 높기 때문에 바람을 피울 가능성이 있다.{1, A}{2, B}: 서로 바람을 피울 수 없기 때문에 안정적이다.이처럼 매칭의 원리는 깨져서는 안 된다.데이비드 게일과 로이드 세플리는 이를 안정성의 법칙이라고 하며, 서로 취향을 갖는 집단 간에 안정적 매칭을 찾아내는 알고리즘을 게일 샤플리의 알고리즘 또는 잠복 수락 알고리즘이라고 부른다. 1962년 대학 입학과 안정적인 결혼이라는 논문으로 나타났다.정리1] 이전 알고리즘을 돌리면 결국 모두가 약혼하게 된다.정리 2] 그렇게 모두 짝을 지으면 그 짝은 안정적이다.남자 여자 1234 ABCDABBA3422BDD2331CCAB1113DACC42441round 남자1, 남자4→(청혼) 여자A, 남자2, 남자3→(청혼) 여자B{1,A}, {3,B}2round 남자2, 남자3→(청혼) 여자D{2,D}3round 남자4→(청혼) 여자B{4,B} 남자3 다시 구혼해야 한다.4round 남자 3 -> (성혼)여자 D커플 성공 없음.5round 남자 3 → (청혼) 여자 A {3, A} 남자 1 다시 구혼해야 한다.6round 남자 1-> (미혼) 여자 B커플 성공 없음.7round 남자1→(성혼)여자C{1,C}가 알고리즘은 n명일 때 n^2라운드 확인하면 된다.그럼 이 방법의 효율적인 방법은 있는가? 컴퓨터만 답인가?그럼 여성에게 유리한가, 남성에게 유리한가? 위 표를 이용한 알고리즘을 여성이 프러포즈하는 것을 바꿔도 같은 커플 매칭이 나온다.그러나 남자 여자 123 ABC231 BCA312 CAB123의 경우 남자가 먼저 청혼한다면 {1, A}, {2, B} {3, C} 그러나 여자가 먼저 청혼한다면 {2, A}, {3, B} {1, C}와 전혀 다른 결과가 나온다.이 알고리즘에서도 또 다른 조건을 부여해 규칙을 보다 공정한 방향으로 수정해 나갈 수 있다.참고) 예능 프로그램에서 커플 매칭으로 전형적으로 볼 수 있는 상황인 것 같다. 아래 사진은 무한도전 영동대로 가요제 때의 사진이다. 이때 가수와 개그맨을 매칭할 때 이런 방식으로 매칭됐다.
6강. 우주의 실체, 모양과 위상과 계산 {A}{B}{A,B}{A,C}{B,C}→삼각형 ABC{A}{B}{A,B}{A,C}{A,C}{B,D}{B,D}{C,D}{A,B,C}{A,B,C}{B,C}{B,C}{B,C}→사면체 ABCD 이러한 표기법은 도형의 크기와 각도 등을 나타내지 않고 있다. 이런 표현의 위상수학은 거시적인 기하라고 할 수 있다. 위상수학에서 서로 다른 것처럼 보이는 도형에서의 위상동형을 찾는데, 그러한 성질 중 하나는 오일러수이다. (오일러수)= (면의 갯수)- (선의 갯수)+ (점의 갯수) 삼각형의 오일러수는 1이고 사면체의 오일러수는 2이다. 도넛 모양의 입체도형은 0이다.
기하학의 혁명적 사건이 세 가지 있다.1) 17C 페르머와 데카르트의 좌표 발명: 기하를 로그로 바라보는 시각 전환 2) 18C 말-19C 중반내면 기하(리먼 곡률) 발명-칼 프리드리히 가우스, 베른하이트 리먼 아인슈타인의 상대성이론도 시공간의 휨을 이용한 것으로 중력을 느낀다는 것은 시공간의 곡률을 느낀다는 것이다.3) 알렉산더 그로탄디에크 대수에서 기하를 만드는 과정을 발견한 사람으로서 임의의 수체계를 부여받더라도 그것이 어떤 기하를 표현한다고 했다. 즉, 어떤 수체계가 주어졌을 때 수체계 속의 원소를 좌표함수의 다항식으로 생각할 수 있다.예를 들어 SPEC(Z)는 정수체계가 결정하는 기하로 표현할 도리가 없는 매우 원초적인 기하로 추상화된 표현이다.현재 학계에서는 양자장론이나 초끈 이론을 기술하기 위해 복잡한 대수적 구조를 끊임없이 발견하고 가공하고 있다. 그중 어느 것이 시공간 기반이 될 정도로 핵심적인 구조인지 이를 파악하는 작업이 오늘날 가장 중대한 과학적 과제 중 하나다.
마치 수학은 정답을 찾는 것이 아니라 이 사이가 답을 찾는데 필요한 명료한 과정을 만드는 것이다. 수학적 사고를 통해서만 우리는 좋은 질문을 던질 수 있고, 우리가 찾은 답이 의미가 있는지 확인할 수 있다.
특강. 숫자 없이 수학을 이해하는 ‘수체계’는 수와 무엇이 다른가. 이 책에서는 대수학의 군을 소개하고 교환법칙, 결합법칙의 중요성을 언급한다. 수 체계가 주어졌을 때 그 체계 속의 원소가 수이다.유한체를 소개하고 정보이론의 구체적인 응용에 대해서도 소개한다. 체에서의 중요성은 나눗셈이 가능하다는 것이며, 이를 통해 암호론에 대한 적용도 언급하고 있다.