공통 질량 중심을 고려한 공전 속도와 공전 주기

우리가 흔히 천체의 공전을 떠올리면 달은 지구를 중심으로 공전한다고 생각한다. 즉, 하나의 천체가 다른 천체를 중심으로 공전한다고 생각하는 것이다. 그러나 만약 질량이 같은 두 천체가 있다면 어떻게 될까? 둘 중 하나의 천체를 중심으로 다른 천체가 공전하는가? 그러기엔 너무 이상해. 어떻게 질량이 같은 두 천체 중 하나는 가만히 있고, 다른 하나만 그 주위를 돌 수 있는가? 이런 의문이 생겨 좀 더 생각해보면 직관적으로 두 천체간 거리의 중심을 기준으로 공전할 것으로 보인다. 또 질량 차이가 적은 두 천체 하나를 중심으로 공전하는 것도 불가능하다는 것을 알게 될 것이다. 그렇다면 사실 천체는 한 천체를 중심으로 공전하는 것이 아니라 두 천체 사이의 어떤 부분을 중심으로 서로를 공전하는 것이다.그리고 우리는 이 중심을 [공통 질량 중심]이라고 한다.

이번 글에서는 공통 질량 중심의 위치와 이를 통한 천체의 운동을 알아보고 계산해본다.

천체와 공통질량중심까지의 거리
우선 천체와 공통질량 중심까지의 거리를 알아보는데, 지금부터 계산하는 방법은 천체의 운동이 타원이 아닌 원이라고 간주한다.
여기에 질량이 m0인 천체의 중심점 M0, 질량이 m1인 천체의 중심점 M1이 있고, 이 두 점 사이의 거리를 R, 두 점 사이에 있는 공통 질량 중심을 C라고 하고, M0과 C 사이의 거리를 r0, M1과 C 사이의 거리를 r1이라고 해보자.

일단 두 천체가 C를 중심으로 각각 r0, r1을 반지름으로 하는 원을 그리면서 공전할 것이다. 이때 각각 천체는 원심력을 받게 되는데 힘을 받는 방향이 서로 반대가 된다. 그리고 두 천체가 안정적으로 공전하기 위해서는 두 천체가 받는 원심력이 변함없이 같아야 하므로 아래와 같은 식을 세울 수 있다.

좌변과 우변에 있는 00와 11은 각각 M0과 M1의 공전각 속도를 의미하는데, 두 천체는 C를 중심으로 서로를 공전하기 때문에 두 천체의 각속도는 같아지므로 두 각속도는 하나의 각속도로 대체된다.각속도가 같으니 각속도를 좌변과 우변으로 나눠 없애자. 이렇게 나온 아래 식이 공통 질량 중심과 천체 간의 거리를 알아보기 위한 식이다.하지만 우리가 알고 있는 정보는 m0과 m1뿐이어서 r0과 r1을 하나의 값으로 특정할 방법이 없다. 미지수 2개이기 때문이다.미지수 2개라면 식도 2개를 만들어 연립방정식을 세워야 한다. 값을 하나로 특정해 주는 또 다른 식은 무엇이 있을까. 그건 너무 쉽다.M0과 C까지의 거리와 M1과 C까지의 거리의 합. 즉, r0과 r1의 합을 결국 M0과 M1 사이의 거리인 R이 된다. 이는 어찌 보면 당연하다. 이것을 아래와 같이 식을 세우자.그럼 2개의 미지수 r0, r1의 값을 특정하기 위한 2개의 식을 구했으므로 아래와 같이 1개의 연립방정식을 세워두자.연립방정식을 풀어 r0과 r1의 값을 구해보면 다음과 같은 식이 유도된다.분모에 두 질량의 합이 들어가고 분자에는 상대 천체의 질량과 두 천체 사이의 거리 곱이 들어가는 식이 만들어졌다.이렇게 문자로만 보면 헷갈리니까 지구-달로 예를 들어보자.지구의 중심점을 M0으로, 달의 중심점을 M1로 하자. 그러면 m0=지구질량=5.97*10^24(kg) m1=달질량=7.36*10^22(kg)이며 두 점 사이의 거리 R=384,000(m)이 된다.앞으로는 이들 숫자를 각각 대입하면 된다.

계산해보면 r0=약 4,673,324(m)=약 4673.324(km) r1=약 379,326,675(m)=약 379,326.675(km)이다. 결과를 해석해보면 지구 중심과 공통 질량 중심까지의 거리는 약 4673㎞이고 달의 중심과 공통 질량 중심까지의 거리는 약 379,326㎞라는 것이다. 또한 이 거리는 각 천체가 공전하는 궤도 반경을 의미하기도 한다. 즉 달뿐만 아니라 지구도 공전한다는 것이다. 하지만 지구의 반지름은 약 6370㎞ 이상이어서 공통 질량 중심이 지구 내부에 위치하여 우리가 공전하고 있다고 느끼기는 어렵다.

2. 공전속도를 구함(공통질량중심x)

우리가 흔히 공전 속도를 계산할 때 궤도 반지름에서 공전하는 시간을 나누어 그 속도를 계산한다. 궤도 반경은 궤도 반경을 알면 구할 수 있지만 공전 시간은 따로 알아야 한다. 이런 방법 말고 다른 방법은 없을까. 위와 같이 두 천체의 질량과 두 천체 사이의 거리만 알고 있는 상태에서도 말이다. 결론적으로 말하면 당연히 구할 수 있다. 어? 시간이라는 변수가 없는데 구하다니. 그것을 이해하기 위해서는 이전에 활용한 원심력과 만유인력을 알 수 있다.

모든 천체는 만유인력이 작용하고 상호작용한다. 두 천체 간에 작용하는 만유인력의 크기는 다음과 같은 식으로 나타내는데, G는 만유인력 상수, m0과 m1은 두 천체 각각의 질량, r은 두 천체 사이의 거리이다.식의 특징을 살펴보면 힘의 크기는 질량에 비례하고 거리의 제곱에 반비례하는 특징을 가진다. 즉 거리가 일정할 때 두 천체질량의 곱이 두 배가 되면 만유인력 크기도 두 배가 되고 질량이 일정할 때 거리가 두 배 멀어지면 힘의 크기는 네 배 작아진다.근데 생각해보자.저렇게 만유인력이 작용하면 거리가 점점 가까워지고 결국은 서로 충돌해야 하지 않을까. 그렇다면 행성이나 위성이 공전하는 것이 불가능한가?

그렇지 않다. 저렇게 충돌하려면 천체가 정지해 있고 만유인력만 받아야 한다. 그러나 천체가 공전할 때는 정지하지 않았다.그럼 움직이면 공전할 수 있을까? 꼭 그렇지만은 않다. 이해를 돕기 위해 간단한 예를 들어보자.

작은 공에 시간이 지날수록 점점 줄어드는 고무줄을 잡고 손으로 잡고 처음에는 느린 속도로 돌리다 점점 빠르게 돌려본다. 처음 느린 속도일 때는 고무줄이 점점 줄어들고 공과 내 손이 점점 가까워지게 된다. 그러나 속도가 점점 빨라지면 어느 순간 고무줄이 늘어나지도 줄어들지도 않고 회전하게 되고, 더 빨라지면 고무줄이 점점 늘어나 회전하게 되고 결국은 끊어지게 될 것이다.

우리는 왜 이런 현상이 나타나는지 알아. 고무줄이 줄어드는 힘이 공을 회전하면서 생기는 원심력보다 크면 고무줄이 줄어들고 같으면 고무줄이 줄어들지도 늘어나지도 않고 작으면 고무줄이 늘어나게 된다. 이는 너무나 당연한 현상이다. 이것을 천체의 운동에 적용해 보자.

손은 태양이고 공은 지구이며 점점 줄어드는 고무줄은 만유인력이라고 생각하면 속도가 느리면 점점 태양에 가까워지고 빠르면 멀어진다. 그리고 만유인력과 원심력이 같다면 안정적으로 돌아갈 수 있다. 그렇다. 이것의 천체공전의 원리다.

그런데 이게 공전 속도를 계산하는 데 무슨 상관이 있을까.그것을 알기 위해 먼저 식을 세워보는데 일단 앞에 공통 중심 질량을 계산해서 두 천체 모두 공전한다는 것을 알고 있지만 지금은 계산 편의상 질량이 m0인 천체는 공전하지 않고 m1인 천체만 공전한다고 가정해 보자. 그렇게 되면 아래와 같은 식이 나오게 된다.설명하자면 m1이 공전해 받는 원심력은 m1에 작용하는 중력과 같다는 의미다. 그런데 여기서 각속도는 속도/반경으로 나타낼 수 있으므로 아래와 같이 나타낼 수 있다.자, 속도(v)가 등장했다. 앞으로 속도를 알려면 이식을 속도에 대한 식으로 다시 정리하면 된다.이렇게 속도에 대한 식으로 잘 정리되었다. 이 식이 바로 현재 안정적으로 공전하고 있는 천체의 속도를 알 수 있는 식이며, 천체가 안정적으로 공전하기 위한 조건이라고 할 수 있다. 이렇게 또 예를 들어보자.고도 700km에서 지구 주위를 도는 인공위성의 속도는 얼마나 될까.G=만유인력상수=6.67*10^-11m0=지구질량(인공위성질량x)=5.97*10^24(kg)r=지구반경+고도=6,371,000+700,000=7071,000(m)을 각각 대입해 계산해보면 약 7,509m/s. 즉 초속 약 7.509km/s의 속도로 지구를 공전하는 것을 알 수 있다.반대로 말하면 700km 고도에서 공전하려면 7.509km/s로 이동해야 한다는 뜻이다.

이와 같이 단순히 질량과 거리만으로 공전 속도를 구할 수 있다.

3. 공전주기를 구함(공통질량중심x)

공전 속도를 구하면 공전 주기(시간)도 구해보자.공전 주기를 구하는 방법은 매우 간단하다. 다만 우리가 중학교 때 배운 것-속-시의 공식을 떠올리면 된다.거리=속력*시간 그럼 시간=거리/속력. 이것으로 끝이다. 우리는 거리도 알고 속도도 알고 있어. 거리는 두 천체 사이의 거리를 반경(궤도 반경)으로 하는 원의 주위로 속도는 아까 위에서 구했으니 그냥 대입만 하자.

이처럼 공전 주기를 계산할 수 있는 공식도 유도했다.글의 분량도 줄일 겸 전부터 예를 들어줬으니 공전 주기를 알고 싶다면 직접 식에 대입해 보길 바란다.참고로 결과의 시간 단위는 (초)이다.

지금까지 천체의 질량과 거리만으로 공전 속도와 주기를 계산할 수 있는 공식을 유도해 보았지만 천체가 다른 천체를 중심으로 공전한다는 전제하에 유도된 공식이기 때문에 정확하지 않다. 태양-지구나 지구-인공위성처럼 서로의 질량 차이가 매우 큰 것에 대해서는 공통 질량 중심이 질량이 큰 천체 중심과 거의 일치하므로 위의 식과 차이가 없지만 지구-달과 같은 경우에는 그렇지 않기 때문이다. 그래서 지금부터는 공통 질량 중심을 고려한 공전 속도와 공전 주기 공식을 유도해 본다. ———————————————————————————————————————————————————————————————————-

4. 공전속도를 구하다 (공통질량중심o)

내가 이전에 공통 질량 중심을 포함하지 않고 공식을 유도한 이유는 우선 기본을 다지기 위해서다. 왜냐하면 공통 질량 중심이 포함되더라도 그 원리 자체는 이전과 똑같기 때문이다. 단순히 공통 질량 중심이 원래의 원리에서 추가되었을 뿐이다.공전을 하기 위한 조건은 원심력과 만유인력이 같아야 한다는 것이었다.I, 두 천체가 공통 질량 중심을 기준으로 공전한다면 각각의 천체가 공전하는 궤도 반경은 공통 질량 중심과 천체 사이의 거리가 될 것이다. 그렇다. 이를 요구하는 공식은 최초로 유도했다. 그걸 알면 공식을 모두 유도한 것이나 마찬가지다.

먼저 m0과 m1이 서로를 공전할 때 m0의 공전 속도(v0)를 유도해 본다.m0의 궤도반경은 r0이므로 원심력은 다음과 같고, 만유인력은 두 천체 모두 포함되므로 다음과 같다.두 힘이 같아야 하므로 아래와 같이 식을 세우고 아까와 같이 속도에 대한 식으로 다시 정리해 준다.r0은 처음에 계산한 값을 그대로 대입해 준다.더 복잡해졌지만 예전에 익히면 전혀 어렵지 않아. 동일한 방법으로 m1의 공전 속도(v1)는 다음과 같이 유도된다.두 공식 모두 분모는 같고 분자는 상대 천체의 질량과 만유인력 상수의 곱이 된다. 사실 분모에 두 천체질량의 합이 추가된 것을 제외하면 그 이전과 완전히 같은 공식이다.간단한 예로 m0에 지구 질량, m1에 달 질량, R에 384,000,000를 대입하면 지구와 달의 공전 속도는 각각 약 12.5m/s, 약 1012.8m/s라는 결과가 나온다.즉 지구도 12.5m/s나 되는 속도로 달을 공전하고 있다.

5. 공전주기를 구함(공통질량중심o)

대망의 공통 질량 중심을 포함하는 공전 주기이다. 위에서는 두 천체의 공전 속도가 다르기 때문에 두 천체 모두